Invertibilidad De Un Proceso De Media Móvil

8.4 Modelos de media móvil En lugar de utilizar valores pasados ​​de la variable de pronóstico en una regresión, un modelo de media móvil utiliza errores de pronóstico anteriores en un modelo similar a la regresión. Y c e teta teta e dots theta e, donde et es ruido blanco. Nos referimos a esto como un modelo MA (q). Por supuesto, no observamos los valores de et, por lo que no es realmente regresión en el sentido usual. Observe que cada valor de yt puede considerarse como una media móvil ponderada de los últimos errores de pronóstico. Sin embargo, los modelos de media móvil no deben confundirse con el suavizado promedio móvil que discutimos en el Capítulo 6. Un modelo de media móvil se utiliza para pronosticar valores futuros mientras que el suavizado medio móvil se utiliza para estimar el ciclo de tendencias de valores pasados. Figura 8.6: Dos ejemplos de datos de modelos de media móvil con diferentes parámetros. A la izquierda: MA (1) con y t 20e t 0.8e t-1. Derecha: MA (2) con y t e t - e t-1 0.8e t-2. En ambos casos, e t es el ruido blanco normalmente distribuido con media cero y varianza uno. La Figura 8.6 muestra algunos datos de un modelo MA (1) y un modelo MA (2). Al cambiar los parámetros theta1, dots, thetaq, se obtienen diferentes patrones de series temporales. Al igual que con los modelos autorregresivos, la varianza del término de error y sólo cambiará la escala de la serie, no los patrones. Es posible escribir cualquier modelo estacionario AR (p) como un modelo MA (infty). Por ejemplo, usando la sustitución repetida, podemos demostrar esto para un modelo de AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) ph php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php php 1, el valor de phi1k se hará más pequeño a medida que k sea mayor. Así que finalmente obtenemos yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, un proceso MA (infty). El resultado inverso se cumple si imponemos algunas limitaciones a los parámetros de MA. Entonces el modelo MA se llama inversible. Es decir, que podemos escribir cualquier proceso de MA (q) invertible como un proceso de AR (infty). Los modelos invertibles no son simplemente para permitirnos convertir de los modelos de MA a los modelos de AR. También tienen algunas propiedades matemáticas que los hacen más fáciles de usar en la práctica. Las restricciones de invertibilidad son similares a las restricciones de estacionariedad. Para un modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para un modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1-theta2 lt 1. Condiciones más complicadas se mantienen para qge3. De nuevo, R se encargará de estas limitaciones al estimar los modelos.1 Departamento de Estadística, Michael Okpara Universidad de Agricultura, Umudike, Nigeria 2 Departamento de Estadística, Universidad Federal de Tecnología, Owerri, Nigeria 3 Departamento de Matemáticas, Informática y Ciencias Físicas , Universidad Federal, Otueke, Nigeria Copyright copy 2015 de los autores y Scientific Research Publishing Inc. Esta obra obtiene su licencia de una licencia de Creative Commons Reconocimiento (CC BY). Recibido el 26 de noviembre de 2014 aceptado el 12 de diciembre de 2014 publicado 19 de enero de 2015 Invertibilidad es una de las propiedades deseables de los procesos de media móvil. Este estudio deriva las consecuencias de la condición de invertibilidad en los parámetros de un proceso de media móvil de orden tres. El estudio también establece los intervalos para los tres primeros coeficientes de autocorrelación del proceso de media móvil de orden tres con el fin de distinguir entre el proceso y cualquier otro proceso (lineal o no lineal) con estructura de autocorrelación similar. Para un proceso de media móvil invertible de orden tres, los intervalos obtenidos son, y. Proceso de media móvil del orden tres, ecuación característica, condición de invertibilidad, coeficiente de autocorrelación, segunda prueba derivada Los procesos de media móvil (modelos) constituyen una clase especial de modelos lineales de series temporales. Un proceso de orden móvil de orden (proceso) es de la forma: donde son constantes reales y, es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media cero y varianza constante. Estos procesos han sido ampliamente utilizados para modelar datos de series de tiempo de muchos campos 1 -3. El modelo en (1.1) es siempre estacionario. Por lo tanto, una condición requerida para el uso del proceso de media móvil es que es invertible. Entonces, el modelo de (1.1) es invertible si las raíces de la ecuación característica están fuera del círculo unitario. Las condiciones de invertibilidad de los modelos de primer orden y orden de segundo orden se han derivado 4 5. Árbitro. 6 utilizó un proceso de media móvil de orden tres (proceso MA (3)) en su estudio de simulación. Sin embargo, se han utilizado procesos de media móvil de orden superior para modelar datos de series de tiempo, no se ha hablado mucho sobre las propiedades de sus funciones de autocorrelación. Este estudio se centra en la condición de invertibilidad de un proceso de MA (3). También se consideran las propiedades de sus coeficientes de autocorrelación de un proceso de media móvil invertible de orden tres. 2. Consecuencia de la Condición de Invertibilidad en los Parámetros de un Proceso de MA (3) Para, el siguiente proceso de media móvil de orden 3 se obtiene de (1.1): La ecuación característica correspondiente a (2.1) es dada por (2.2) es una ecuación cúbica. La información detallada sobre cómo resolver ecuaciones cúbicas se puede encontrar en 7 8 entre otras. Es una tradición común considerar la naturaleza de las raíces de una ecuación característica mientras se determina la condición de invertibilidad de un modelo de serie temporal 9. Como una ecuación cúbica, (2.2) puede tener tres raíces reales distintas, una raíz real y dos complejas Raíces, dos raíces iguales reales o tres raíces iguales reales. La naturaleza de las raíces de (2.2) se determina con la ayuda del discriminante 8 If. (2.2) tiene las siguientes raíces distintas 7 donde se mide en radianes y. Cuando. (2.2) sólo tiene raíz real dada por 1 como Las otras raíces son 8 Si. y. Entonces y (2.2) tiene dos raíces iguales. Las raíces de (2.2) en este caso, son las mismas que (2.7), (2.8) y (2.9). Para y. (2.2) tiene tres raíces iguales reales. Cada una de estas raíces está dada por 8 como Para (2.1) ser invertible, se espera que las raíces de (2.2) estén fuera del círculo unitario y. En el siguiente teorema, las condiciones de invertibilidad de un proceso MA (3) se dan a condición de que la ecuación característica correspondiente tenga tres raíces iguales reales. Teorema 1. Si la ecuación característica tiene tres raíces iguales reales, entonces el proceso de media móvil de orden tres es invertible si Para invertibilidad, esperamos que cada una de las tres raíces iguales reales se encuentren fuera del círculo unitario. Así, Resolver la desigualdad. Dado que cada una de las raíces se encuentra fuera del círculo unitario, el valor absoluto de su producto debe ser por lo tanto mayor que uno. Por lo tanto, esto completa la prueba. La región de invertibilidad de una media móvil de orden tres con raíces iguales de la ecuación característica (2.2) está encerrada por el triángulo OAB en la figura 1. Figura 1. Región de Invertibilidad de un proceso MA (3) cuando la ecuación característica tiene tres raíces iguales reales. 3. Identificación del proceso del promedio móvil La identificación del modelo es un aspecto crucial del análisis de series temporales. Una práctica común es examinar las estructuras de la función de autocorrelación (ACF) y la función de autocorrelación parcial (PACF) de una serie temporal dada. A este respecto, se dice que una serie de tiempo sigue un proceso de orden de orden móvil si su función de autocorrelación asociada se corta después del retardo y la correspondiente función de autocorrelación parcial disminuye exponencialmente 10. Los autores que utilizan este método creen que cada proceso tiene representación ACF única. Sin embargo, la existencia de estructuras de autocorrelación similares entre el proceso de media móvil y el proceso de series de tiempo bilineal diagonal pura del mismo orden hace difícil identificar un proceso de media móvil basado en el patrón de su ACF. Además, una mirada cuidadosa a la función de autocorrelación del cuadrado de una serie temporal puede ayudar a determinar si la serie sigue un proceso de media móvil. Si la serie puede ser generada por un proceso de media móvil, entonces su cuadrado sigue un proceso de media móvil del mismo orden 11 12. Las condiciones bajo las cuales usamos la función de autocorrelación para distinguir entre procesos que se comportan como procesos de media móvil de orden uno y dos Han sido determinados por 13 14 respectivamente. Estas condiciones están todas definidas en términos de los valores extremos de los coeficientes de autocorrelación de los procesos. 4. Intervalos para los Coeficientes de Autocorrelación de un Promedio Móvil de Orden Tres Como se indicó en la Sección 3, el conocimiento de los valores extremos del coeficiente de autocorrelación de un proceso de media móvil de un orden particular puede permitirnos asegurar una identificación adecuada del proceso. Se ha observado que para un proceso de media móvil de orden uno, 15 mientras que para un proceso de media móvil de orden dos y 5. Con el fin de generalizar sobre la gama de valores de para un proceso de orden móvil de orden. Vale la pena determinar los valores de rango para un proceso de media móvil de orden tres. El modelo de (2.1) tiene la siguiente función de autocorrelación 10: Podemos deducir de (4.1) que la función de autocorrelación en el retardo del proceso MA (3) es Usando el Libro de Notas Científicas, se encuentran los valores mínimo y máximo de Ser y respectivamente. Para la función de autocorrelación en el segundo lapso, tenemos Los valores extremos de se obtienen igualmente con la ayuda del Libro de Notas Científicas. A este efecto, tiene un valor mínimo de 0,5 y un valor máximo de 0,5. A partir de (4.1), obtenemos Basado en el resultado obtenido del Cuaderno Científico, tiene un valor mínimo de 0.5 y un valor máximo de 0.5. Sin embargo, los intervalos para se pueden obtener fácilmente analíticamente y este resultado se generaliza en el teorema 2 para el proceso de MA. Las derivadas parciales con respecto a. Y son los puntos críticos de ocurre cuando. Equacionando cada una de las derivadas parciales en (4.5), (4.6) y (4.7) a cero, obtenemos2.1 Modelos de media móvil (modelos MA) Los modelos de series temporales conocidos como modelos ARIMA pueden incluir términos autorregresivos y términos de media móvil. En la semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor retrasado de x t. Por ejemplo, un término autorregresivo de retardo 1 es x t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define los términos del promedio móvil. Un término medio móvil en un modelo de serie temporal es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Dejamos (wt desbordamiento N (0, sigma2w)), lo que significa que los w t son idéntica, independientemente distribuidos, cada uno con una distribución normal que tiene la media 0 y la misma varianza. El modelo de media móvil de primer orden, denotado por MA (1) es (xt mu wt theta1w) El modelo de media móvil de segundo orden, denotado por MA (2) es (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) es (xt mu wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, aunque sí cambia los signos algebraicos de los valores estimados de los coeficientes y los términos (no cuadrados) en las fórmulas para las ACF y las varianzas. Usted necesita comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza signos positivos en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie temporal con un modelo MA (1) Tenga en cuenta que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es para el retardo 1. Todas las demás autocorrelaciones son 0. Por lo tanto, una ACF de muestra con una autocorrelación significativa sólo con el retardo 1 es un indicador de un posible modelo MA (1). Para los estudiantes interesados, las pruebas de estas propiedades son un apéndice a este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un modelo MA (1) es x t 10 w t .7 w t-1. Donde (wt overset N (0,1)). Así, el coeficiente 1 0,7. El ACF teórico se da por un diagrama de esta ACF sigue. La gráfica que se muestra es la ACF teórica para una MA (1) con 1 0,7. En la práctica, una muestra no suele proporcionar un patrón tan claro. Utilizando R, simulamos n 100 valores de muestra utilizando el modelo x t 10 w t .7 w t-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, sigue un diagrama de series de tiempo de los datos de la muestra. No podemos decir mucho de esta trama. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. Observamos un pico en el retraso 1 seguido por valores generalmente no significativos para los retrasos de 1. Obsérvese que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico del MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos de 1 serán 0.Una muestra diferente tendría una ACF de muestra ligeramente diferente mostrada abajo, pero probablemente tendría las mismas características amplias. Propiedades Terapéuticas de una Serie de Tiempo con un Modelo MA (2) Para el modelo MA (2), las propiedades teóricas son las siguientes: Obsérvese que los únicos valores distintos de cero en la ACF teórica son para los retornos 1 y 2. Las autocorrelaciones para retardos mayores son 0 . Por lo tanto, una muestra de ACF con autocorrelaciones significativas en los intervalos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativas para retardos mayores, indica un posible modelo MA (2). Iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0,3. Dado que se trata de una MA (2), la ACF teórica tendrá valores distintos de cero sólo en los retornos 1 y 2. Los valores de las dos autocorrelaciones distintas de cero son: Un gráfico del ACF teórico sigue. Como casi siempre es el caso, los datos de la muestra no se comportarán tan perfectamente como la teoría. Se simularon 150 valores de muestra para el modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Donde w t iid N (0,1). A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo de los datos. Al igual que con el gráfico de la serie de tiempo para los datos de la muestra MA (1), no se puede decir mucho de ella. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. El patrón es típico para situaciones donde un modelo MA (2) puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativos en los intervalos 1 y 2, seguidos de valores no significativos para otros desfases. Tenga en cuenta que debido al error de muestreo, la muestra ACF no coincide exactamente con el patrón teórico. ACF para modelos MA (q) Una propiedad de los modelos MA (q) en general es que hay autocorrelaciones no nulas para los primeros q retrasos y autocorrelaciones 0 para todos los retrasos gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (rho1) en MA (1) Modelo. En el modelo MA (1), para cualquier valor de 1. El 1/1 recíproco da el mismo valor para. Por ejemplo, use 0.5 para 1. Y luego utilice 1 / (0,5) 2 para 1. Youll get (rho1) 0.4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. Limitamos los modelos MA (1) a tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 será un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0,5 2 no. Invertibilidad de los modelos MA Se dice que un modelo MA es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo de orden infinito convergente. Al converger, queremos decir que los coeficientes de AR disminuyen a 0 a medida que retrocedemos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción programada en el software de la serie de tiempo usado para estimar los coeficientes de modelos con términos de MA. No es algo que buscamos en el análisis de datos. En el apéndice se proporciona información adicional sobre la restricción de la invertibilidad para los modelos MA (1). Nota de Teoría Avanzada. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para la invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - q y q 0 tiene soluciones para y que caen fuera del círculo unitario. Código R para los Ejemplos En el Ejemplo 1, se representó la ACF teórica del modelo x $ _ {t} $ w $ _ {t} $. 7w t - 1. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R usados ​​para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 retardos de ACF para MA (1) con theta1 0.7 lags0: 10 crea una variable llamada lags que va de 0 a 10. plot Abline (h0) añade un eje horizontal al diagrama El primer comando determina el ACF y lo almacena en un objeto (a0) Llamado acfma1 (nuestra elección de nombre). El comando plot (el 3er comando) traza retrasos en comparación con los valores ACF para los retornos 1 a 10. El parámetro ylab etiqueta el eje y y el parámetro principal coloca un título en la gráfica. Para ver los valores numéricos de la ACF simplemente utilice el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. Xcarzim. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 agrega 10 para hacer la media 10. La simulación predeterminada significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) (X, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestra simulados) En el Ejemplo 2, se representó el ACF teórico del modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 trama (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) con theta1 0,5, (X, typeb, principal serie MA simulado) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Para los estudiantes interesados, aquí hay pruebas de las propiedades teóricas del modelo MA (1). Cuando x 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 (x) La razón es que, por definición de independencia del peso. E (w k w j) 0 para cualquier k j. Además, debido a que w t tiene una media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para una serie de tiempo, aplique este resultado para obtener la ACF indicada anteriormente. Un modelo inversible MA es uno que puede ser escrito como un modelo de orden infinito AR que converge para que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el modelo MA (1). A continuación, sustituimos la relación (2) por wt-1 en la ecuación (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z - theta2w) En el momento t-2. La ecuación (2) es entonces sustituimos la relación (4) por w t-2 en la ecuación (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si continuáramos Sin embargo, si 1 1, los coeficientes que multiplican los retrasos de z aumentarán (infinitamente) en tamaño a medida que retrocedemos hacia atrás hora. Para evitar esto, necesitamos 1 lt1. Esta es la condición para un modelo de MA (1) invertible. Infinite Order MA model En la semana 3, veamos bien que un modelo AR (1) puede convertirse en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu wt phi1w phi21w puntos phik1 w dots sum phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco pasado es conocida Como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos remontándose en el tiempo. Esto se llama un orden infinito MA o MA (). Una orden finita MA es un orden infinito AR y cualquier orden finito AR es un orden infinito MA. Recordemos en la semana 1, observamos que un requisito para un AR estacionario (1) es que 1 lt1. Vamos a calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso utiliza un hecho básico sobre series geométricas que requiere (phi1lt1) de lo contrario la serie diverge. Navegación